cpk计算公式及其背后的每一个知识点

一、CPK 是什么？

CPK（Process Capability Index，过程能力指数） 是衡量一个过程满足产品质量标准（规格）能力的数值指标。它告诉我们，我们的生产过程是否稳定，并且能否持续地生产出符合规格要求的产品。

核心思想： 将过程的自然波动范围（基于实际数据）与客户允许的规格范围进行比较。

• CPK值高（通常 > 1.33）：说明过程的自然波动远小于规格范围，过程能力强，产生不合格品的风险极低。

• CPK值低（通常 < 1.0）：说明过程的自然波动已经接近甚至超过了规格范围，过程能力弱，有很大风险产生不合格品。

二、CPK 的计算公式

CPK 的计算公式有两个，取其中较小的那个值作为最终的CPK。

公式 1：关注上限规格
Cpu = (USL - μ) / 3σ

公式 2：关注下限规格
Cpl = (μ - LSL) / 3σ

最终的 CPK：
CPK = Min(Cpu, Cpl)

为什么取最小值？ 因为过程的能力取决于它最薄弱的那一环。好比一个木桶能装多少水，取决于最短的那块木板。

三、公式中每个知识点的详细讲解

让我们来逐一拆解公式中的每一个符号和概念。

1. USL 与 LSL（规格上下限）

• USL（Upper Specification Limit）：规格上限。客户或标准允许的最大值。超过这个值，产品就不合格。

  • 例子：一个轴的长度，客户要求最大不能超过10.05mm。

• LSL（Lower Specification Limit）：规格下限。客户或标准允许的最小值。低于这个值，产品也不合格。

  • 例子：同一个轴的长度，客户要求最小不能短于9.95mm。

• 公差（Tolerance）：USL - LSL 就是公差范围，代表了客户允许的总波动范围。

2. μ（过程均值）

• 定义：过程输出数据的平均值。它代表了过程的“中心位置”。

• 计算：μ = (X1 + X2 + ... + Xn) / n （其中X1, X2...是单个测量值，n是样本数量）

• 重要性：理想情况下，过程均值 μ 应该与规格中心值 (USL + LSL)/2 重合。如果 μ 偏离了中心，即使过程波动很小，也会导致CPK值降低。

3. σ（过程标准差）

• 定义：衡量过程输出数据的离散程度，即“波动”有多大。σ 是 CPK 计算中最关键的因素之一，因为它代表了过程的固有波动。

• 计算：对于样本数据，通常使用 σ = R̄ / d2 来估计。

  • R̄ 是子组极差（R）的平均值。极差 R = 子组内最大值 - 子组内最小值。

  • d2 是一个与子组大小相关的常数（例如，子组大小为5时，d2 ≈ 2.326）。

• 为什么用 3σ？

  • 对于一个呈正态分布的过程，其数据会落在 μ ± 3σ 范围内的概率是99.73%。这意味着过程的自然波动范围（宽度） 大约是 6σ。

  • 因此，3σ 可以看作是“过程自然波动范围的一半”。

4. Cpu 与 Cpl（单边过程能力）

• Cpu（上限过程能力指数）：

  • (USL - μ) 表示从过程中心到上限还有多少“空间”。

  • 将这个空间除以 3σ（过程一半的自然波动），就得到了过程满足上限要求的能力。比值越大，说明空间越充裕，越不容易超上限。

• Cpl（下限过程能力指数）：

  • (μ - LSL) 表示从过程中心到下限还有多少“空间”。

  • 同样，除以 3σ 得到满足下限要求的能力。

四、CPK 计算的全过程示例

场景： 加工一根轴，规格要求是 10.00 ± 0.05 mm。即 LSL = 9.95 mm, USL = 10.05 mm。
我们抽取了25组数据，每组5个样本（共125个数据）。经过计算：

• 过程均值 μ = 10.01 mm

• 平均极差 R̄ = 0.02 mm

• 子组大小 n=5，查表得 d2 = 2.326

计算步骤：

1. 估算过程标准差 σ
   σ = R̄ / d2 = 0.02 / 2.326 ≈ 0.0086 mm

2. 计算单边过程能力

   • Cpu = (USL - μ) / 3σ = (10.05 - 10.01) / (3 * 0.0086) ≈ 0.04 / 0.0258 ≈ 1.55

   • Cpl = (μ - LSL) / 3σ = (10.01 - 9.95) / (3 * 0.0086) ≈ 0.06 / 0.0258 ≈ 2.33

3. 确定 CPK
   CPK = Min(1.55, 2.33) = 1.55

结果解读：
这个过程的CPK是1.55。由于它大于1.33，通常认为这个过程能力是充足的。但是，我们可以看到 Cpu (1.55) 远小于 Cpl (2.33)，这是因为过程中心（10.01）更靠近上限（10.05），导致向上波动的“安全空间”较小。为了进一步提升CPK，我们应该首先考虑将过程均值 μ 调整到规格中心 10.00。

五、CPK 与 CP 的区别（非常重要！）

• CP（过程潜力指数）：

  • 公式：CP = (USL - LSL) / 6σ

  • 含义：只关注过程的“潜在”能力，即过程的自然波动（6σ）与公差范围的对比。它不考虑过程中心 μ 的位置。

  • 在上面的例子中：CP = (10.05 - 9.95) / (6 * 0.0086) ≈ 0.1 / 0.0516 ≈ 1.94。这个值很高，说明过程波动本身很小，潜力很大。

• CPK 与 CP 的关系：

  • 当过程中心 μ 正好位于规格中心时，CPK = CP。

  • 当过程中心 μ 发生偏移时，CPK < CP。

  • CP 告诉我们过程“理论上”能做多好，而 CPK 告诉我们过程“实际上”做得怎么样。 CPK 是一个更现实、更严格的指标。

六、使用 CPK 的前提条件

1. 过程必须稳定（受控）：需要使用控制图（如Xbar-R图）来确认过程没有异常波动。在一个不稳定的过程中计算CPK是没有意义的。

2. 数据必须服从或近似服从正态分布：CPK的计算基于正态分布的假设。如果数据严重非正态，需要使用其他方法（如转换数据或使用非正态过程能力指数）。